购买的鞋子有质量问题，但退货商不同意只给予补偿

如果商家坚持不退货，您确实可以依据《消费者权益保护法》进行投诉。根据该法第二十四条，经营者提供的商品或者服务不符合质量要求的，消费者可以依照国家规定、当事人约定退货，或者要求经营者履行更换、修理等义务。在您的情况下，虽然超过了保修期，但如果是鞋子本身的质量问题导致的严重问题，如断底断面，您仍有权要求退换。若商家拒绝，您可以向消费者协会投诉，寻求其帮助和支持。
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从法律角度看，您应保留以下证据以支持退货要求：购买鞋子时的发票或收据，以证明购买关系和价格；鞋子存在质量问题的照片或视频，清晰展示问题所在；与商家沟通的记录，包括电话录音、短信、聊天记录等，以证明您已尝试与商家协商但未果。这些证据在投诉或诉讼过程中将起到关键作用，有助于维护您的合法权益。
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如果鞋子只是轻微损坏，您可以尝试与商家协商换货或要求适当补偿。首先，明确是鞋子本身的质量问题，然后向商家表达您的诉求。如果商家同意换货，最好要求换同款新鞋。如果商家只愿意提供补偿，您可以根据自己的接受程度来决定是否接受。若协商无果，再考虑向消费者协会投诉或采取其他法律途径。